Юрий Волынцев в детстве мечтал стать дирижёром. Он очень любил музыку, и в армии был запевалой в хоре. Но карьера певца не состоялась - он оказался в Щукинском театральном училище, на курсе И.М. Рапопорта, которое окончил в 1962 году.

Мягкая характерность и ироничный лиризм Волынцева пришлись по душе его педагогам, и он был оставлен в Московском академическом театре имени Вахтангова.

На этой сцене актёр сыграл массу заметных ролей, преимущественно в классике: "На всякого мудреца довольно простоты" (Городулин), "Золушка" (Король), "Принцесса Турандот" (Бригелла), "Стакан воды" (Виконт Болингброк), "Дамы и гусары" (пан Юзеф), "Игроки" (Глов-старший), "Без вины виноватые" (Шмага). В своих работах Волынцев сочетал яркую театральность с психологической достоверностью своих героев, что удаётся далеко не всем его коллегам.

В кино снимался довольно мало. Телезрителям он известен в первую очередь как пан Спортсмен в телепередаче "Кабачок 13 стульев". Самые известные роли в кино: "Майор Вихрь" (Швальб), "Карусель" (Сюсин), "Смешные люди" (Романсов).

Кроме вышеперечисленных работ следует упомянуть фильмы: "Время, вперёд!", "Битва в пути", "Семья, как семья", "Соло для слона с оркестром", "Утренний обход", "Мой избранник", "Дорогое удовольствие", "Тень, или всё обойдётся", "На Дерибасовской хорошая погода…".

Кроме того, он был постоянным участником киножурнала "Фитиль".

Юрий Волынцев много работал в мультипликации. Его голосом говорят: Волк ("Самый маленький гном"), Зеленый ("Тайна третьей планеты"), Мухомор ("Как грибы с горохом воевали"), Иван ("Волшебное кольцо") и многие другие персонажи известных мультфильмов.

Коллеги говорят, что Юрий Волынцев был наивным, и его легко было разыграть. Дочь актера утверждает, что это был мудрейший человек, которого назвать наивным нельзя. Его знали и любили как нелепого пана Спортсмена из «Кабачка 13 стульев», как обаятельного комедийного актера. Он блистал на сцене Театра имени Вахтангова в небольших, характерных ролях. Но всю жизнь Волынцев мечтал петь в оперетте, и этой мечты очень стеснялся. Он был скрытным человеком. Никогда не рассказывал о своих родителях, не вел откровенных бесед, не дружил с людьми творческих профессий, хотя ко всем относился очень хорошо.

Отец известной актрисы, радио- и телеведущей Ксении Стриж.

Ушёл из жизни 9 августа 1999 года. Похоронен на Хованском кладбище (Центральная территория, участок 45Ж).