Родился 13 декабря 1908 года в Ростове-на-Дону.
Его отец — Плятт Ян (Иван) Иосифович, поляк по национальности — был известным юристом в Ростове. Мать — Зинаида Павловна Закаменная — украинка из Полтавы. В 1916 году семья переехала в Москву.

Юному Плятту повезло с первых дней его учёбы в школе — драмкружком руководил Владимир Фёдорович Лебедев. Известный артист Московского Малого театра распознал в своём ученике основную сторону его таланта — склонность к комическому.

Окончил драматические курсы под руководством Ю.А. Завадского (театральную студию Ю.А. Завадского на Сретенке, в 1927 году переименованную в Театр-студию под руководством Завадского).
С 1927 года — актёр Московского театра-студии под руководством Ю.А. Завадского.
С 1936 года — актёр Ростовского драматического театра имени Горького.
С 1938 года — Московского театра имени Ленинского комсомола.
С 1941 года — актёр Московского театра драмы.
С 1943 года — актёр академического театра имени Моссовета.

В 1926 году поступил в театральную студию Ю.А. Завадского на Сретенке, в 1927 году переименованную в Театр-студию под руководством Завадского. В том же 1927 году состоялся дебют Плятта в спектакле «Простая вещь» (по рассказам Бориса Лавренёва), где он сыграл Человека в пенсне и Офицерика на вечеринке. Актёр удачно показался в «Ученике дьявола» Бернарда Шоу (1933) и «Школе неплательщиков» Л. Вернейля (1935).


В 1936 году Плятт вместе с театром Завадского переехал в Ростов-на-Дону из-за отсутствия подходящего помещения в Москве. На ростовской сцене играл Болинброка («Стакан воды» Э. Скрипа, 1937), Скалозуба («Горе от ума» А.С. Грибоедов, 1937) и др. По-настоящему крупный успех имел его Фон Ранен («Дни нашей жизни» Л.Н. Андреева, 1938), роль, которая неожиданно обнаружила склонность актёра к углубленному, психологически тонкому раскрытию характера.


В 1938 году Плятт вернулся в Москву и до 1941 года работал в Театре имени Ленинского комсомола, где создал значительный образ Крогстада («Нора» Ибсена, 1939). Писатель Константин Симонов отметил артиста как единственного и неповторимого исполнителя Бурмина («Парень из нашего города», 1941), а позже Васина («Русские люди», 1942). Проработав в Московском театре драмы с 1941 по 1943 годы, Плятт вернулся к Завадскому и остался до конца верным Театру имени Моссовета. За долгие годы работы он выступал в самых разных по масштабу и жанрам ролях. В его репертуаре эксцентрические Болинброк («Стакан воды» Скриба, 1945) и Нинкович («Госпожа министерша» Б. Нушича, 1946), чеховские Тапёр (по рассказам А.П. Чехова,1944) и Дорн («Чайка», 1945), современные Гарри Смит («Русский вопрос» Симонова, 1947) и Добротворский («Закон чести» А. Штейна, 1948), классические Казарин («Маскарад» М.Ю. Лермонтова, 1952) и Яропегов («Сомов и другие» Максима Горького, 1954), снова Крогстад («Нора» Ибсена, 1959) и др.


С каждым годом в искусстве Плятта все значительнее определялась психологическая разработка персонажей. В 1964 году Плятт сыграл интеллектуально острый характер Бернарда Шоу («Милый лжец» Килти) и Цезаря («Цезарь и Клеопатра» Шоу). Вершиной его сценической деятельности в 1960-е годы стал образ старика Купера («Дальше — тишина» В. Дельмара, 1969). Мастер тонких, необычайно выразительных средств, в 1970-е годов он создал интересную портретную галерею: писатель Лавренев («Поющие пески» А. Штейна, 1972), Постоянно действующий персонаж («Возможны варианты» В. Азерникова, 1975), генерал Фицбатресс («На полпути к вершине» П. Устинова, автор пьесы, увидевший эту работу очень высоко её оценил), Старорежимное Лицо («Версия» Штейна, 1977), Фёдор Карамазов («Братья Карамазовы» по Ф.М. Достоевскому, 1979) и др.


В восьмидесятые годы, в связи с перенесённой тяжёлой травмой, Р.Я. Плятт реже выходил на сценические подмостки. Тем не менее, его исполнение центральных ролей в спектаклях «Суд над судьями» Э. Манна (Хейвуд) и «Последний посетитель» В. Дозорцева (Посетитель) — приносило огромную радость зрителям.(...) Артист яркой творческой индивидуальности был востребован и телевидением, неоднократно принимал участие в телеспектаклях и телефильмах: Яминг («Возмездие» Л. Кручковского, 1964), граф Любин («Провинциалка» И.С. Тургенева, 1970), пастор Шлаг («Семнадцать мгновений весны» Юлиана Семёнова, 1973), Грюджиус («Тайна Эдвина Друда», 1980).


На телевидении в 1970-е годы: цикл передач о Бернарде Шоу ("Театр Бернарда Шоу"), в котором Шоу (Плятт) беседовал с Литературоведом (А. Аникст).

Народный артист СССР (04.04.1961).

Первая жена — Нина Бутова, вторая жена — Людмила Маратова. Детей нет.

Жил на Малой Бронной улице, 2/6, где в память об актёре установлена мемориальная доска.

Ростислав Янович скончался 30 июня 1989 года в Москве. Похоронен актёр на Новодевичьем кладбище столицы (участок № 10).

В 1991 году была издана книга Плятта «Без эпилога».